Question

已知{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=2(

1

a1

+

1

a2

)，a3+a4=32(

1

a3

+

1

a4

)．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n²+log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式化簡已知的兩個等式，得到關(guān)于首項和公比的方程組，根據(jù){a_n}是各項均為正數(shù)求出方程組的解，即可得到首項和公比的值，根據(jù)首項與公比寫出等比數(shù)列的通項公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的通項公式代入b_n=a_n²+log₂a_n中，化簡得到數(shù)列{b_n}的通項公式，列舉出數(shù)列{b_n}的各項，分別根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列的前n項和的公式即可求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則a_n=a₁q^n-1，由已知得：

a1+a1q=2( 1 a1 + 1 a1q )  a1q2+a1q3 =32( 1 a1q2 + 1 a1q3 )

，
化簡得：

a12q(q+1)=2(q+1) a12q5 (q+1)=32(q+1)

，即

a12q=2 a12q5=32

，
又a₁＞0，q＞0，解得：

a1=1 q=2

，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n²+log₂a_n=4^n-1+（n-1）
∴T_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=

4n-1

4-1

+

n(n-1)

2

=

4n-1

3

+

n(n-1)

2

．

點評：此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，靈活運用等差數(shù)列的前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題．