Question

已知函數(shù)的圖象過點（-1，2），且在點（-1，f（-1））處的切線與直線x-5y+1=0垂直．
（Ⅰ）求實數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)x＜1時，f′（x）=-3x2+2x+b，
由題意得：即，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）因為
當(dāng)-1≤x＜1時，f′（x）=-x（3x-2），
解f′（x）＞0得解f′（x）＜0得
∴f（x）在（-1，0）和（，1）上單減，在（0，）上單增，
從而f（x）在x=處取得極大值f（）=
又∵f（-1）=2，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
當(dāng)1≤x≤e時，f（x）=alnx，
當(dāng)a≤0時，f（x）≤0；
當(dāng)a＞0時，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．
∴a≥2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；
當(dāng)a＜2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．
分析：（I）求出x＜1時的導(dǎo)函數(shù)，令f（-1）=2，f′（x）=-5，解方程組，求出b，c的值．
（II）分段求函數(shù)的最大值，利用導(dǎo)數(shù)先求出-1≤x＜1時的最大值；再通過對a的討論，判斷出1≤x≤e時函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，再從兩段中的最大值選出最大值．
點評：曲線對應(yīng)的函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；求分段函數(shù)的性質(zhì)時應(yīng)該分段去求．