Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間(-1，1)上，f(

1

2

)=-1，對(duì)任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又?jǐn)?shù)列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

2a

1+ a 2 n

．
（I）在（-1，1）內(nèi)求一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（II）求證：數(shù)列{f（a_n）}是等比數(shù)列，并求f（a_n）的表達(dá)式；
（III）設(shè)cn=

n

2

bn+2，bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

，是否存在m∈N^*，使得對(duì)任意n∈N^*，cn＜

6

7

lo

g

2 2

m-

18

7

log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）由f(t)=2f(

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)，能求出實(shí)數(shù)t．
（II）由f(a1)=f(

1

2

)=-1，且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，知

f(an+1)

f(an)

=2，由此能夠證明數(shù)列{f（a_n）}是等比數(shù)列，并能求出f（a_n）的表達(dá)式．
（III）由bn=-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

，知cn=

n

2

bn+2=-n+

n

2n

+2，則cn+1-cn=-(n+1)+

n+1

2n+1

+2-[-n+

n

2n

+2]＜0，故{c_n}是減數(shù)列，由此能夠推導(dǎo)出存在m∈N^*，使得對(duì)任意n∈N^*，cn＜

6

7

lo

g

2 2

m-

18

7

log2m恒成立．

解答：解：（I）f(t)=2f(

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)，
∴t=

4

5

…（2分）
（II）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，
且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(an+1)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(an)+f(an)=2f(an)，

即

f(an+1)

f(an)

=2
∴{f（a_n）}是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴f(an)=-2n-1．…（6分）
（III）由（II）得，bn=-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

…（8分）
∴cn=

n

2

bn+2=-n+

n

2n

+2，…（9分）
則cn+1-cn=-(n+1)+

n+1

2n+1

+2-[-n+

n

2n

+2]
=

n+1

2n+1

-

n

2n

-1
=

1-n

2n+1

-1＜0，
∴{c_n}是減數(shù)列，
∴cn≤c1=-1+

1

2

+2=

3

2

，
要使7cn＜6log2 2m-18log2m對(duì)任意n∈N^*恒成立，
只需6log22m-18log2m＞

21

2

，
即4log 22m-12log2m-7＞0，
故log2m＜-

1

2

，或log2m＞

7

2

，
∴0＜m＜

2

2

，或m＞8

2

≈11.31，
∴當(dāng)m≥12，且m∈N^*時(shí)，7cn＜6log2 2m-18log2m對(duì)任意n∈N^*恒成立，
∴m的最小正整數(shù)值為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．