Question

已知點P（m，-1）（m∈R），過點P作拋物線C：y=x²的切線，切點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）若過點P的切線的斜率為1，求m的值；
（2）證明x₁，m，x₂成等差數(shù)列；
（3）若以點P為圓心的圓E與直線AB相切，求圓E面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點P的坐標，利用導數(shù)求出P的斜率等于1，求m的值；
（2）求出y=x²的導數(shù)，通過直線PA與曲線C相切，利用斜率相等，推出x₁+x₂=2m，即可證明x₁，m，x₂成等差數(shù)列；另解，利用方程直接求出方程的根，推出x₁+x₂=2m，得到x₁，m，x₂成等差數(shù)列．
（3）通過（2）求出AB的斜率，AB的方程，利用點P到直線AB的距離即為圓E的半徑，就是以點P為圓心的圓E與直線AB相切，求出r的表達式，利用換元法與基本不等式，求出r的最小值，即可求圓E面積的最小值．

解答：解：（1）設(shè)切點的坐標為（x₀，y₀），∵y′=2x₀=1，∴x0=

1

2

，∵y0=

x

2 0

=

1

4

，
且

x 2 0 +1

x0-m

=1，∴

5 4

1 2 -m

=1，解得m=-

3

4

；
（2）由y=x²可得，y′=2x．∵直線PA與曲線C相切，且過點P（m，-1），
∴2x1=

x 2 1 +1

x1-m

，即x₁²-2mx₁-1=0，同理x₂²-2mx₂-1=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2mx-1=0兩個根，因此x₁+x₂=2m，故x₁，m，x₂成等差數(shù)列．
（注：另解，由x₁²-2mx₁-1=0得x1=

2m- 4m2+4

2

=m-

m2+1

，或x1=m+

m2+1

，同理可得：x2=m-

m2+1

，或x2=m+

m2+1

，∵x₁＜x₂，∴x1=m-

m2+1

，x2=m+

m2+1

．  因此x₁+x₂=2m，故x₁，m，x₂成等差數(shù)列．
（3）由（2）可知，x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-1，則直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x1+x2，∴直線AB的方程為：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2mx-y+1=0．
∵點P到直線AB的距離即為圓E的半徑，即r=

2m2+2

4m2+1

，
設(shè)4m²+1=t，t≥1，則r2=

4( t-1 4 +1)2

t

=

1

4

(t+

9

t

+6)≥

1

4

×(2

t• 9 t

+6)=

1

4

•12=3，
當且僅當t=3時，等號成立，即m2+

1

4

=

3

4

，m=±

2

2

時取等號．
故圓E面積的最小值S=πr²=3π．

點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的導數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法等知識，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想，換元法．