Question

函數(shù)f（x）=，g（x）=ax²-b（a、b、x∈R）），A={x|≤0}
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）如果b=0，對(duì)任意x∈A時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（Ⅲ）如果b＞0，當(dāng)“f（x）≥0對(duì)任意x∈A恒成立”與“g（x）≤0在x∈A內(nèi)必有解”同時(shí)成立時(shí)，求3a+b的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）令，則x²=t²-1，
f（x）≤0即即t²-6t+8≤0，
∴2≤t≤4，所以，所以x∈[-，-]∪[，]，
即A=[-，-]∪[，]，…
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立也就是f（x）=≥0恒成立，
∵，即，
∵，
a≤==恒成立，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/500629.png' />=2，所以a．
…
（Ⅲ）對(duì)任意x∈A，f（x）≥0恒成立，a+b
得a+b，
由g（x）=ax²-b≤0有解，ax²-b≤0有解，即a≤，
∵b＞0，∴a≤=，≥3a． …
∴a，b滿(mǎn)足條件所表示的區(qū)域，設(shè)3a+b=t，b=-3a+t，
根據(jù)可行域求出當(dāng)a=，b=時(shí)取得．
所以3a+b的最大值為3． …
分析：（Ⅰ）利用換元法直接求解不等式的解集，即可得到集合A；
（Ⅱ）通過(guò)b=0，對(duì)任意x∈A時(shí)，f（x）≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)基本不等式，即可實(shí)數(shù)a的范圍；
（Ⅲ）利用b＞0，當(dāng)“f（x）≥0對(duì)任意x∈A恒成立”與“g（x）≤0在x∈A內(nèi)必有解”同時(shí)成立，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，然后求3a+b的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，函數(shù)的最值以及線(xiàn)性規(guī)劃基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．