Question

如圖(1),△BCD內(nèi)接于直角梯形A₁A₂A₃D,已知沿△BCD三邊將△A₁BD、△A₂BC、△A₃CD翻折上去,恰好形成一個三棱錐ABCD，如圖（2）所示.

 (1)求證:在三棱錐ABCD中，AB⊥CD；

(2)若直角梯形的上底A₁D=10，高A₁A₂=8，求翻折后三棱錐的側(cè)面ACD與底面BCD所成二面角θ的余弦值.

Answer 1

 (1)證明:在直角梯形A₁A₂A₃D中,

A₁D⊥A₁B,A₂C⊥A₂B,

翻折成三棱錐后仍有AB⊥AD,AB⊥AC,

∴AB⊥平面ACD.

又平面ACD,∴AB⊥CD.

 (2)解:由題設(shè)可知,B、C必是A₁A₂、A₂A₃的中點,A₁D=A₃D.

∴A₁D=A₃D=10,A₁B=A₂B=4.

過D作DE⊥A₂A₃,垂足為E,得DE=8.

在Rt△DEA₃中,得EA₃=6,

∴A₂A₃=16.

于是A₂C=CA₃=8，CE=2.

不難得到S_△BCD=36,S_△CDA=32.

∵AB⊥平面ACD,

由面積射影定理得.

故側(cè)面ACD與底面BCD所成二面角θ的余弦值為.

解析:

空間直線和平面