Question

14．設數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：n≥2，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1（n≥2），a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，即a₁+a₃=2（a₂+1），即可求得a₁=2，因此數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：na_n=n•2ⁿ，“錯位相減法”即可求得數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n．

解答 解：（Ⅰ） 由已知S_n=2a_n-a₁，
當n≥2，S_n-1=2a_n-1-a₁，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
從而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，
∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，即a₁+a₃=2（a₂+1），
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項公式${a_n}={2^n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：na_n=n•2ⁿ，
∴${T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+4•{2^4}+…+（n-1）{2^{n-1}}+n•{2^n}$，
$2{T_n}=0+1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+4•{2^5}+…+（n-1）{2^n}+n•{2^{n+1}}$，
兩式相減得：$-{T_n}=2+{2^2}+{2^3}+{2^4}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}$，
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}={2^{n+1}}-2-n•{2^{n+1}}$，
∴${T_n}=n•{2^{n+1}}+2-{2^{n+1}}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的證明，等差數(shù)列性質，“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．