（07年山東卷理）（14分）設(shè)函數(shù),其中.

(I)當(dāng)時,判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

(II)求函數(shù)的極值點;

(III)證明對任意的正整數(shù),不等式都成立.

解析：(I) 函數(shù)的定義域為.

，

令，則在上遞增，在上遞減，

.

當(dāng)時，，

在上恒成立.

即當(dāng)時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。

（II）分以下幾種情形討論：

（1）由（I）知當(dāng)時函數(shù)無極值點.

（2）當(dāng)時，，

時，

時，

時，函數(shù)在上無極值點。

（3）當(dāng)時，解得兩個不同解，.

當(dāng)時，，，

此時在上有唯一的極小值點.

當(dāng)時，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此時有一個極大值點和一個極小值點.

綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；

時，函數(shù)在上無極值點。

（III） 當(dāng)時，

令則

在上恒正，

在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒有.

即當(dāng)時，有，

對任意正整數(shù)，取得

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(I)求方程 有實根的概率;

(II) 求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

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(I)求方程 有實根的概率;

(II) 求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

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