Question

11．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立．
（1）證明函數(shù)y=f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（3）若f（2+x）+f（x）＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，利用f（a+b）=f（a）+f（b）可求得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），又當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，從而得f（x₁）＜f（x₂），可證明函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞減；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）⇒f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，從而可知函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（3）由f（2+x）+f（x）＜0得f（2+x）＜-f（x）=f（-x），利用y=f（x）在R上單調(diào)遞減即可求得x的取值范圍．

解答 （1）證明：設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（（x₁-x₂）+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂），
又當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）證明：由f（a+b）=f（a）+f（b），
得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．
（3）解：由f（2+x）+f（x）＜0，
得f（2+x）＜-f（x），
又y=f（x）是奇函數(shù)，
即f（2+x）＜f（-x），
又y=f（x）在R上是減函數(shù)，
∴2+x＞-x解得x＞-1．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．