Question

如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，D為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，E為底面一邊A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥DF；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABD的體積，并求直線A₁B₁到與它平行的平面DAB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)F，連EF，DF，則EF⊥AB，由已知條件推導(dǎo)出DF⊥AB，由此能證明AB⊥DF．
（Ⅱ）由已知條件得VA1-ABD=VD-A1BA=

1

3

×h×S△ABA1=

2

3

3

，設(shè)直線A₁B₁到與它平行的平面DAB的距離d．利用等積法能求出三棱錐A₁-ABD的體積，求出直線A₁B₁到與它平行的平面DAB的距離．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)F，連EF，DF，則EF⊥AB，
ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，
∴DA=DB，∴DF⊥AB，
∴AB⊥平面DEF，∴AB⊥DF．（4分）
（Ⅱ）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，
D為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，E為底面一邊A₁B₁的中點(diǎn)，
∴VA1-ABD=VD-A1BA=

1

3

×h×S△ABA1=

2

3

3

，（8分）
由題意知DA=DB=

5

，∴S_△AED=2，
設(shè)直線A₁B₁到與它平行的平面DAB的距離d．
∵VA1-ABD=VD-A1BA=

2

3

3

，
∴

1

3

×d×S△ABD=

1

3

×d×2=

2

3

3

，
∴d=

3

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．