Question

如圖①，正三角形ABC邊長2，CD為AB邊上的高，E、F分別為AC、BC中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖②
（1）判斷翻折后直線AB與面DEF的位置關(guān)系，并說明理由
（2）求二面角B-AC-D的余弦值
（3）求點C到面DEF的距離

Answer 1

分析：（1）由已知中E、F分別為AC、BC中點，由三角形中位線定理可得EF∥AB，由線面平行的判定定理可得AB∥平面DEF
（2）過D作DH垂直AC于H，連接HB，根據(jù)二面角的平面角可得∠BDH是B-AC-D的二面角的平面角，解三角形BDH，即可得到二面角B-AC-D的余弦值
（3）過點E作FK垂直CD于K，可證得FK是三棱錐C-DEF的高，由此我們計算出三棱錐C-DEF的體積，和S_△DEF利用等體積法，即可得到點C到面DEF的距離．

解答：解：（1）在三角形ABC中，EF是中位線，所以EF∥AB
  EF屬于平面DEF里，且直線AB不屬于平面DEF，
∴AB∥平面DEF
（2）過D作DH垂直AC于H，連接HB
BD垂直于AD，BD垂直于CD，
又因為AD和CD相交于點D，
∴所以BD垂直于平面ACD
AC屬于平面ACD，所以BD垂直于AC
又因為DH垂直于AC
所以∠BDH是B-AC-D的二面角
在三角形BDH里，∠BDH是直角（因為BD垂直于平面ACD，所以BD垂直于DH）
BD=1
DH=AD•sin60°=

3

2

tan∠BHD=

BD

DH

=

2 3

3

cos∠BHD=

21

7

（3）求三棱錐C-DEF的體積
過點E作FK垂直CD于K，
在三角形BCD中，F(xiàn)K是中位線，F(xiàn)K∥BD，且FK=

1

2

BD=

1

2

又BD垂直于平面ACD，可知FK垂直于平面ACD
即FK垂直于平面ECD
所以FK是三棱錐C-DEF的高
S_△CED=

3

4

V_C-DEF=

3

24

又∵S_△DEF=

7

8

∴點C到面DEF的距離為

21

7

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，點到平面的距離，其中（1）的關(guān)鍵是證得EF∥AB，（2）的關(guān)鍵是證得∠BDH是B-AC-D的二面角的平面角，（3）的關(guān)鍵是利用等體積法進行解答．