(1)證明:∵長方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AB=BC=1,AA
1=2,E是側(cè)棱BB
1的中點
∴AE=A
1E=
,AA
1=2,
∴AA
12=AE
2+A
1E
2∴AE⊥A
1E
又∵D
1A
1⊥平面A
1EA,AE?平面A
1EA
∴AE⊥A
1D
1,又D
1A
1∩A
1E=A
1,
∴AE⊥平面A
1D
1E;
(2)解:由(1)中AE⊥平面A
1D
1E,
∴V
A-A1D1E=
•S
△A1D1E•AE=
=
(3)解:取CC
1的中點F,連接D
1F,
則A
1E∥D
1F,所以∠AD
1F即為求異面直線A
1E與AD
1所成角.
∵AB=BC=1,AA
1=2,∴
∵
∴D
1F⊥AF
在△AD
1F中,可求得tan∠AD
1F=
=
∴∠AD
1F=arctan
.
分析:(1)根據(jù)已知中長方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AB=BC=1,AA
1=2,E是側(cè)棱BB
1的中點,結(jié)合長方體的幾何特征,我們可得AE⊥A
1E,AE⊥A
1D
1,結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A
1D
1E;
(2)由(1)的結(jié)論,我們可得AE即為三棱錐A-A
1D
1E的高,根據(jù)已知求出三棱錐的底面積,代入棱錐體積公式,即可求出三棱錐A-A
1D
1E的體積;
(3)取CC
1的中點F,連接D
1F,則可得∠AD
1F即為求異面直線A
1E與AD
1所成角,在△AD
1F中,可求得結(jié)論.
點評:本題主要考查空間角,體積的計算,線面垂直,考查了空間想象能力、計算能力,屬于中檔題.