Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點．
（1）求證：直線AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求三棱錐A-A₁D₁E的體積；
（3）求異面直線A₁E與AD₁所成角的大�。�

Answer 1

（1）證明：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點
∴AE=A₁E=，AA₁=2，
∴AA₁²=AE²+A₁E²
∴AE⊥A₁E
又∵D₁A₁⊥平面A₁EA，AE?平面A₁EA
∴AE⊥A₁D₁，又D₁A₁∩A₁E=A₁，
∴AE⊥平面A₁D₁E；
（2）解：由（1）中AE⊥平面A₁D₁E，
∴V_A-A1D1E=•S_△A1D1E•AE==
（3）解：取CC₁的中點F，連接D₁F，

則A₁E∥D₁F，所以∠AD₁F即為求異面直線A₁E與AD₁所成角．
∵AB=BC=1，AA₁=2，∴
∵
∴D₁F⊥AF
在△AD₁F中，可求得tan∠AD₁F==
∴∠AD₁F=arctan．
分析：（1）根據(jù)已知中長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點，結(jié)合長方體的幾何特征，我們可得AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A₁D₁E；
（2）由（1）的結(jié)論，我們可得AE即為三棱錐A-A₁D₁E的高，根據(jù)已知求出三棱錐的底面積，代入棱錐體積公式，即可求出三棱錐A-A₁D₁E的體積；
（3）取CC₁的中點F，連接D₁F，則可得∠AD₁F即為求異面直線A₁E與AD₁所成角，在△AD₁F中，可求得結(jié)論．
點評：本題主要考查空間角，體積的計算，線面垂直，考查了空間想象能力、計算能力，屬于中檔題．