已知拋物線x2＝2y的焦點為F，準線為l，過l上一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，現(xiàn)某學(xué)習(xí)小組在研究討論中提出如下三個猜想：

(1)直線PA⊥PB恒成立；

(2)直線AB恒過定點F；

(3)等式中的λ恒為常數(shù)．請你一一進行驗證．

答案：
解析：

　　(1)由，對其求導(dǎo)得：，

　　設(shè)，則直線的斜率分別為，

　　∴直線的方程為，即，

　　同理：直線的方程為，∴可解得點的坐標為，

　　又點在準線上，∴，即，

　　∵，∴，猜想(1)成立．　　4分

　　(另解：設(shè)，則點在直線上，∴，∴是方程的兩根，故，∴，∴，猜想(1)成立)

　　(2)直線的斜率，

　　∴直線的方程為，又，∴，

　　顯然直線過焦點，猜想(2)成立．　　8分

　　(3)，，

　　∵

　　，

　　又，

　　∴，

　　所以恒成立，為常數(shù)．　　12分


練習(xí)冊系列答案
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已知直線l過M(1，0)與拋物線x2＝2y交于A、B兩相異點，O為坐標原點，點P在y軸的右側(cè)且滿足．

(Ⅰ)求P點的軌跡C的方程；

(Ⅱ)若曲線C的切線斜率為λ，滿足，點A到y(tǒng)軸的距離為a，求a的取值范圍．

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已知F是拋物線y＝x2的焦點，P是該拋物線上的動點，則線段PF中點的軌跡方程是

[　　]

A．x2＝2y－1

B．x2＝2y－

C．x2＝y(tǒng)－

D．x2＝2y－2

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已知拋物線x2＝2y的焦點為F，準線為l，過l上一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B.

某學(xué)習(xí)小組在研究討論中提出如下三個猜想：

(1)直線PA、PB恒垂直；

(2)直線AB恒過焦點F；

(3)等式·＝λ2中的λ恒為常數(shù).

現(xiàn)請你一一進行論證.

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