Question

在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-3）為△OAB的直角頂點(diǎn)．已知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零．
（1）求向量的坐標(biāo)；
（2）求圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，說(shuō)明理由：若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出要求的向量的坐標(biāo)，根據(jù)所給的模長(zhǎng)的關(guān)系和直角三角形兩條直角邊垂直的關(guān)系，寫出關(guān)于向量坐標(biāo)的關(guān)系式，解方程，舍去不合題意的結(jié)果，得到向量的坐標(biāo)．
（2）要求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓，只要求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可，本題需要先根據(jù)向量的坐標(biāo)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，通過(guò)計(jì)算得到結(jié)果．
（3）設(shè)出拋物線上關(guān)于直線的對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上且兩點(diǎn)連線與已知直線垂直，寫出所設(shè)的點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)方程有解用判別式得到結(jié)果．
解答：解：（1）設(shè)，
則由||=2||，=0
即
得，或．
∵，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴={6，8}；
（2）由={10，5}，得B（10，5），
于是直線OB方程：．
由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+y（y+1）²=10，
得圓心（3，-1），半徑為．
設(shè)圓心（3，-1）關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y）
則，
得，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱兩點(diǎn)，
則，
得
即x₁，x₂為方程的兩個(gè)相異實(shí)根，
于是由，
得．
∴當(dāng)時(shí)，拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題是近幾年高考�？嫉膯�(wèn)題，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題，好多問(wèn)題都是以向量為載體的