已知某長方體的棱長之和為14.8m,長方體底面的一邊比另一邊長0.5m,問高為多少時長方體體積最大?并求出最大體積是多少?
解:設容器底面短邊長為xm,則另一邊長為(x+0.5)m,
高為=3.2﹣2x
由3.2﹣2x>0和x>0,得0<x<1.6,
設容器的容積為ym3,則有y=x(x+0.5)(3.2﹣2x)(0<x<1.6)
整理,得y=﹣2x3+2.2x2+1.6x,
所以y'=﹣6x2+4.4x+1.6
令y'=0,有﹣6x2+4.4x+1.6=0,即15x2﹣11x﹣4=0
解得x1=1,x2=﹣(不合題意,舍去).
從而,在定義域(0,1.6)內(nèi)只有在x=1處使y'=0.
因此,當x=1時y取得極大值,也是最大值,
y最大值=﹣2+2.2+1.6=1.8,這時,高為3.2﹣2×1=1.2.
答:容器的高為1.2m時容積最大,最大容積為1.8m3
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