Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

1 3 an+n，n為奇數(shù) an-3n，n為偶數(shù)

，求證：數(shù)列{a_2n-

3

2

}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義將條件進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：令n=1時，a₂=

1

3

a₁+1=

1

3

+1=

4

3

，
則a_2n=

1

3

a_2n-1+2n-1=

1

3

[a_2n-2-3（2n-2）]+2n-1=

1

3

a_2n-2+1，
則a_2n-

3

2

=

1

3

a_2n-2+1-

3

2

=

1

3

a_2n-2-

1

2

=

1

3

（a_2n-2-

3

2

），
則

a2n- 3 2

a2n-2- 3 2

=

1

3

，
故數(shù)列{a_2n-

3

2

}是公比q=

1

3

的等比數(shù)列．

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應用，以及等比數(shù)列的證明，根據(jù)等比數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．