Question

6．已知過點(diǎn)M（1，0）的直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$交于兩點(diǎn)A、B，且$\overline{AM}=2\overline{MB}$，則直線l的斜率是±$\frac{\sqrt{15}}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：（m²+4）y²+2my-3=0．由$\overline{AM}=2\overline{MB}$，可得y₁=-2y₂．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：設(shè)直線l的方程為：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（m²+4）y²+2my-3=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$．
∵$\overline{AM}=2\overline{MB}$，
∴0-y₁=2（y₂-0），
即y₁=-2y₂．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}}\end{array}\right.$，解得m²=$\frac{12}{5}$．
∴$m=±\sqrt{\frac{12}{5}}$，
∴直線l的向斜率k=$\frac{1}{m}$=±$\frac{\sqrt{15}}{6}$．
故答案為：±$\frac{\sqrt{15}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線斜率，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．