【題目】在四棱錐中，平面平面.底面為梯形，，，且，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若是棱的中點，求證：對于棱上任意一點，與都不平行.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）建立空間直角坐標系后，表示出各點坐標，求出平面的一個法向量是，平面的一個法向量為，利用即可得解；

（3）利用反證法，假設(shè)棱上存在點，，由題意，，設(shè)可得，此方程無解，故假設(shè)錯誤，即可得證.

（1）證明：因為平面平面， 平面平面，

平面， ，

所以平面，

又因為平面，

所以.

（2）因為，，所以.

由（1）得平面，所以，

故，，兩兩垂直.

如圖，以為原點，，，所在直線分別為軸，

建立空間直角坐標系，

則，，，.

因為平面，所以平面的一個法向量是.

而，，

設(shè)平面的一個法向量為，

則由 得 取，有，

所以.

由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

（3）證明：假設(shè)棱上存在點，，設(shè).

依題意，可知，，，

所以，，設(shè)，

根據(jù)假設(shè)，有 ，而此方程組無解，故假設(shè)錯誤，問題得證.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】隨著我國經(jīng)濟實力的不斷提升，居民收人也在不斷增加。某家庭2018年全年的收入與2014年全年的收入相比增加了一倍，實現(xiàn)翻番.同時該家庭的消費結(jié)構(gòu)隨之也發(fā)生了變化，現(xiàn)統(tǒng)計了該家庭這兩年不同品類的消費額占全年總收入的比例，得到了如下折線圖：

則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A. 該家庭2018年食品的消費額是2014年食品的消費額的一半

B. 該家庭2018年教育醫(yī)療的消費額與2014年教育醫(yī)療的消費額相當

C. 該家庭2018年休閑旅游的消費額是2014年休閑旅游的消費額的五倍

D. 該家庭2018年生活用品的消費額是2014年生活用品的消費額的兩倍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，且，為等邊三角形，過點的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求四邊形面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐的底面中，，，平面，是的中點，且

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點，使得，若存在指出點的位置，若不存在請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點，當直線與軸垂直時，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當直線與軸不垂直時，在軸上是否存在一點（異于點），使軸上任意點到直線，的距離均相等？若存在，求點坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中不正確的是（　�。�

A.設(shè)為直線，為平面，且；則“”是“”的充要條件

B.設(shè)隨機變量，若，則

C.若不等式()恒成立，則的取值范圍是

D.已知直線經(jīng)過點，則的取值范圍是

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形， 面， 為的中點。

（1）證明： 平面;

（2）設(shè)， ，三棱錐的體積 ，求A到平面PBC的距離。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若， 是方程（）的兩個不同的實數(shù)根，求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為2，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為，為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.

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