Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在點(diǎn)A（2，f（2））處的切線l的斜率為

3

2

．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點(diǎn)A除外）；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂）），當(dāng)x₂＞x₁＞1時，直線PQ的斜率恒大于k，試求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出f′(x)=

1

x

-a，f′（2）=

3

2

，由此能求出a=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知l的方程為：y=

3

2

x+ln2-1，令g（x）=f（x）-[

3

2

x+ln2-1]=lnx-

1

2

x-ln2+1，則g′(x)=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

，由此求出當(dāng)x=2時，g（x）取得最大值g（2）=0，從而能證明函數(shù)f（x）的圖象恒在其切線l的下方（切點(diǎn)除外）．
（Ⅲ）由已知條件推導(dǎo)出f（x₂）-f（x₁）＞k（x₂-x₁），f（x₂）-kx₂＞f（x₁）-kx₁．令h（x）=f（x）-kx=lnx+x-kx，x＞0，從而得到h′(x)=

1

x

+1-k≥0在（1，+∞）恒成立，由此能求出k的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：因為f（x）=lnx-ax，所以x＞0，f′(x)=

1

x

-a，
又因為函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（2．f（2））處的切線斜率為

3

2

，所以f′（2）=

3

2

，
所以

1

2

-a=

3

2

，解得a=-1．
（Ⅱ）證明：因為f（x）=lnx+x，所以A（2，ln2+2），所以l的方程為：y=

3

2

x+ln2-1，
令g（x）=f（x）-[

3

2

x+ln2-1]=lnx-

1

2

x-ln2+1，
則g′(x)=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

，又因為x＞0，
所以當(dāng)x∈（0，2）時，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，+∞）時，g′（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=2時，g（x）取得最大值g（2）=0，
所以g（x）≤0，所以f（x）≤

3

2

x+ln2-1，
即函數(shù)f（x）的圖象恒在其切線l的下方（切點(diǎn)除外）．
（Ⅲ）解：因為kPQ=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，所以當(dāng)x₂＞x₁＞1時，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞k，
即f（x₂）-f（x₁）＞k（x₂-x₁），f（x₂）-kx₂＞f（x₁）-kx₁．
令h（x）=f（x）-kx=lnx+x-kx，x＞0，
所以h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
所以h′(x)=

1

x

+1-k≥0在（1，+∞）恒成立，
所以k≤

1

x

+1在（1，+∞）恒成立，所以k≤1．

點(diǎn)評：本題考查實數(shù)的求法，考查函數(shù)圖象恒在直線下方的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．