Question

已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產千件需另投入2.7萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）滿足：（1）當0＜x≤10時銷售收入與生產服裝的平方成一次關系，x=3千件時銷售收入為10.5萬元；x=9千件時銷售收入為8.1萬元．（2）當x＞10時銷售收入與生產服裝的關系式為R(x)=

108

x

-

1000

3x2

．
（1）寫出年利潤W（萬元）關于年出品x（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該公式在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）先根據當0＜x≤10時銷售收入與生產服裝的平方成一次關系，x=3千件時銷售收入為10.5萬元；x=9千件時銷售收入為8.1萬元，求出當0＜x≤10時銷售收入與生產服裝的關系，再由年利潤W=年產量x×每千件的銷售收入為R（x）-成本．我們易得年利潤W（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（2）由（1）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據分段函數的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結果．

解答：解：（1）∵當0＜x≤10時銷售收入與生產服裝的平方成一次關系
∴可設R（x）=kx²+b
∵x=3千件時銷售收入為10.5萬元；x=9千件時銷售收入為8.1萬元
∴

10.5=9k+b 8.1=81k+b

∴b=10.8，k=-

1

30

∴當0＜x≤10時，銷售收入與生產服裝的關系式為R(x)=-

1

30

x2+10.8
∴0＜x≤10時，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；
當x＞10時，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x．
∴W=

8.1x- x3 30 -10 ，(0＜x≤10) 98- 1000 3x -2.7x ，(x＞10)

（2）①當0＜x＜10時，由W'=8.1-

x2

10

=0，得x=9，
且當x∈（0，9）時，W'＞0；當x∈（9，10）時，W'＜0，
∴當x=9時，W取最大值，且Wmax=8.1×9-

1

30

×93-10=38.6
②當x＞10時，W=98-(

1000

3x

+2.7x)≤98-2

1000 3x •2.7x

=38
當且僅當

1000

3x

=2.7x，
即x=

100

9

時，W=38，
故當x=

100

9

時，W取最大值38．
綜合①②知當x=9時，W取最大值38.6萬元，故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大．

點評：本題考查的知識點是分段函數及函數的最值，分段函數分段處理，這是研究分段函數圖象和性質最核心的理念，具體做法是：分段函數的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數的奇偶性、單調性要在各段上分別論證；分段函數的最大值，是各段上最大值中的最大者．