Question

已知、分別是直線(xiàn)和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)任意作直線(xiàn)（與軸不垂直），設(shè)與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若，，證明：為定值．

Answer 1

（1）．   （2）．       

（1）本小題屬于相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，設(shè)，然后再設(shè)出相關(guān)動(dòng)點(diǎn)，,根據(jù)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，以及,可以消去，得到x,y的普通方程.
(2)設(shè)出直線(xiàn)的方程為,再設(shè)、、，然后直線(xiàn)方程與橢圓C的方程聯(lián)立，根據(jù)，可找到,,同理,則,然后再利用韋達(dá)定理證明
（1）設(shè)，，
∵是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴                        ………2分
∵分別是直線(xiàn)和上的點(diǎn)，∴和．
∴                              …………4分
又，∴．                 …………5分
∴，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．     …………8分
（2）依題意，直線(xiàn)的斜率存在，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為．
設(shè)、、，
則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
消去并整理，得，         …………10分
∴， ①   ．   ②           ………12分
∵，∴．
即∴．∵與軸不垂直，∴，
∴，同理．                          ………14分
∴．
將①②代入上式可得