Question

已知函數(shù)f（x）=（x+

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）²，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求證：對(duì)任意x∈（0，+∞），都有h（x）＞

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2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)f′（x），求出切線的斜率，寫出切點(diǎn)，寫出切線方程；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)h′（x），注意定義域：（0，+∞），求出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極小值，即為最小值，再用最小值與

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2

比較即可．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=2x+1，
由題意，得k=f'（0）=1，f(0)=

1

4

，
∴y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x+

1

4

；
（Ⅱ）證明：h(x)=(x+

1

2

)2-lnx，（x＞0）
∴h′(x)=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

=

(x+1)(2x-1)

x

，
由h'（x）=0，得x=

1

2

，

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
h'（x）	-	0	+
h（x）	減	極小值	增

∴h(x)≥hmin(x)=h極小值(x)=h(

1

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)=1-ln

1

2

，
 即h(x)≥1+ln2=1+

1

2

ln22＞1+

1

2

lne=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和求極值，同時(shí)考查開區(qū)間內(nèi)唯一的極值必為最值的重要結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．