Question

6．在△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，c=$\sqrt{5}$，則△ABC的面積的最大值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用解直角三角形，可得a=csinA=$\sqrt{5}$sinA=$\sqrt{5}$cosB，由三角形的面積公式和正弦函數(shù)的值域，計(jì)算即可得到最大值．

解答 解：由∠C=$\frac{π}{2}$，c=$\sqrt{5}$，
可得A+B=$\frac{π}{2}$，
則a=csinA=$\sqrt{5}$sinA=$\sqrt{5}$cosB，
即有△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB
=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$cosBsinB
=$\frac{5}{4}$sin2B≤$\frac{5}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)B=$\frac{π}{4}$，取得最大值$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形的知識(shí)，二倍角公式的運(yùn)用，及三角形的面積公式的運(yùn)用，正弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．