已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過(guò)點(diǎn)（
3
，
1
2
）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點(diǎn)．若
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
，點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，C（-
6
2
，0），D（
6
2
，0），求證：|NC|+|ND|=2
2
．
（Ⅰ）由題意：2a=4，所以a=2，
∵橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1過(guò)點(diǎn)（
3
，
1
2
），
∴
3
4
+
1
4b2
=1
∴b2=1
∴所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（II）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
x12
4
+y12=1，
x22
4
+y22=1
∵
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
，
∴M（
3
5
x1+
4
5
x2，
3
5
y1+
4
5
y2）
∴
(
3
5
x1+
4
5
x2)2
4
+(
3
5
y1+
4
5
y2)2=1
∴
x1x2
4
+y1y2=0
∵點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)
∴N（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）
∴
(
x1+x2
2
)2
2
+2(
y1+y2
2
)2=
1
2
(
x12
4
+y12)+
1
2
(
x22
4
+y22)+
x1x2
4
+y1y2=1
∴線段AB的中點(diǎn)N在橢圓
x2
2
+2y2=1上
∵橢圓
x2
2
+2y2=1的兩焦點(diǎn)為C（-
6
2
，0），D（
6
2
，0），
∴|NC|+|ND|=2
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點(diǎn)．設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時(shí)
1
a2
+
1
b2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知半徑為r的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相互垂直且交點(diǎn)為P．
精英家教網(wǎng)
（1）若四邊形ABCD中的一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對(duì)于之前小題的研究結(jié)論，我們可以將其類比到橢圓的情形．如圖2，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相互垂直且交于點(diǎn)P．試提出一個(gè)由類比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•武漢模擬）已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
3
，半焦距為c（c＞0），且a-c=1．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為k1（k1≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)k1=1時(shí)，求S△AOB的值；
（Ⅲ）設(shè)R（1，0），延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為k2，求證：
k1
k2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
3
，點(diǎn)P (
3
5
5
，-2)在此橢圓上，經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為K的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)K=1時(shí)，求S△AOB的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•紅橋區(qū)二模）已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=l（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），若該橢圓的離心率等于
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1F2分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍；
（3）以B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個(gè)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案