已知數(shù)列，滿足，，

（1）求的值；

（2）猜想數(shù)列 的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（3）己知，設(shè)，記，求．

 

【答案】

（1）；；（2），證明見解析；（3）3．.

【解析】

試題分析：（1）這屬于已知數(shù)列的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的項的問題，我們只要在已知遞推關(guān)系式中依次令就可以依次求出；（2）用歸納法歸納數(shù)列的通項公式，我們可以由數(shù)列的前幾項想象各項與項數(shù)之間的聯(lián)系，如，，，，從而歸納出結(jié)論，然后數(shù)學(xué)歸納法證明，這里數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)即第一步已經(jīng)不需另證了，關(guān)鍵是第二步，假設(shè)時，，然后由已知條件求出，那么結(jié)論就是正確的；（3）按常規(guī)方法，先求，，接著求數(shù)列的前項和，根據(jù)其通項公式的形式（它是一個等差數(shù)列所一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得），求和用乘公比經(jīng)錯位相減法，求得，然后借助已知極限可求出極限.

試題解析：(1)，

∴．

，分別令，可得

，

(2)猜想數(shù)列的通項公式為.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

證明 (i)當(dāng)時，由(1)知結(jié)論成立；當(dāng)時，,結(jié)論成立.

(ii)假設(shè)時，結(jié)論成立，即.

當(dāng)時，

.

所以，，即時，結(jié)論也成立.

根據(jù)(i)和(ii)可以斷定，結(jié)論對一切正整數(shù)都成立.

 (3)由(2)知，，． 于是，

，

．

所以，．

考點：（1）數(shù)列的項；（2）數(shù)學(xué)歸納法；（3）借位相減法，極限.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、已知數(shù)列an滿足：a4n+1=1，a4n+3=0，a2n=an，n∈N*，則a2011=
0
；a2018=
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=2，
an+1
2an
=1+
1
n
；
（Ⅰ）求數(shù)列an的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Sn，試比較an-Sn與2的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題：
①命題p：?x0∈[-1，1]，滿足x02+x0+1＞a，使命題p為真的實數(shù)a的取值范圍為a＜3；
②代數(shù)式sinα+sin(
2
3
π+α)+sin(
4
3
π+α)的值與角α有關(guān)；
③將函數(shù)f(x)=3sin(2x-
π
3
)的圖象向左平移
π
3
個單位長度后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)；
④已知數(shù)列an滿足：a1=m，a2=n，an+2=an+1-an（n∈N*），記Sn=a1+a2+a3+…+an，則S2011=m；其中正確的命題的序號是
 
 （把所有正確的命題序號寫在橫線上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=
1
4
，an=
an-1
(-1)nan-1-2
(n≥2，n∈N)
（1）求數(shù)列an的通項公式an；
（2）設(shè)bn=
1
a
2
n
，求數(shù)列bn的前n項和Sn；
（3）設(shè)cn=ansin
(2n-1)π
2
，數(shù)列cn的前n項和為Tn．求證：對任意的n∈N*，Tn＜
4
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=(1+cos2
nπ
2
)an+sin2
nπ
2
，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4；并求證：a2m+1+2=2（a2m-1+2），（m∈N*）；
（2）設(shè)bn=
a2n
a2n-1
，Sn=b1+b2+…+bn，求證：Sn＜n+
5
3
．

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