Question

【題目】已知函數(shù)其中為常數(shù).

(1)當(dāng)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1時，求函數(shù)在上的最小值； (2)若函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)min＝f(2)＝1－3ln 2.（2）

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求參數(shù)的值，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求解；（2）利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)極值點(diǎn)之間的關(guān)系建立不等式組分析求解：

(1)f′(x)＝a＋－ (x>0)，由題意可知，f′＝1，解得a＝1.

故f(x)＝x－－3ln x，∴f′(x)＝，

根據(jù)題意由f′(x)＝0，得x＝2.

于是可得下表：

x			2	(2,3)	3
f′(x)		－	0	＋
f(x)			1－3ln 2

∴f(x)min＝f(2)＝1－3ln 2.

(2)f′(x)＝a＋－＝ (x>0),

由題意可得方程ax2－3x＋2＝0有兩個不等的正實(shí)根，不妨設(shè)這兩個根為x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，

則

解得0<a<.故a的取值范圍為.