(2008•盧灣區(qū)一模)(文) 已知四邊形OABC為直角梯形,∠AOC=∠OAB=90°,PO⊥平面AC,且OA=3,AB=6,OC=2,PO=3.
(1)求證:AB⊥PA;
(2)求異面直線PB與OA所成的角θ(用反三角函數(shù)值表示).
分析:(1)以O的坐標原點,OA,OC,OP方向分別為x,y,z軸正方向建立空間坐標系,分別求出AB與PA的方向向量的坐標,根據(jù)兩向量的數(shù)量積為0,即可判斷出AB⊥PA;
(2)分別求出異面直線PB與OA的方向向量的坐標,代入向量夾角公式,求出θ的余弦值,進而得到異面直線PB與OA所成的角θ.
解答:證明:(1)以O的坐標原點,OA,OC,OP方向分別為x,y,z軸正方向建立空間坐標系
∵OA=3,AB=6,OC=2,PO=3
∴A(3,0,0),B(3,6,0),P(0,0,3)
AB
=(0,6,0),
PA
=(3,0,-3)
AB
PA
=0
AB
PA

即AB⊥PA;
解:(2)∵
PB
=(3,6,-3),
OA
=(3,0,0),
則異面直線PB與OA所成的角θ滿足
cosθ=
|
PB
OA
|
|
PB
|•|
OA
|
=
9
3
6
•3
=
6
6

θ=arccos
6
6
點評:本題考查的知識點是異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系,其中建立空間坐標系,將線面垂直問題及線線夾角問題轉化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關鍵.
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-
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②(解答本題,最多可得8分)若CD平分∠ACB,求線段AB的長;
③(解答本題,最多可得10分)若點D為線段AB的中點,求線段AB的長.

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