Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2），求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列；  
（3）求S_n=a₁+a₂+…+a_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中S_n+1=4a_n+2，我們易得S_n+2=4a_n+1+2，兩式相減可得a_n+2=4a_n+1-4a_n．結(jié)合b_n=a_n+1-2a_n，易求出數(shù)列{b_n}相鄰兩項(xiàng)之比為定值，再結(jié)合a₁=1，即可得到數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）由，我們可得c_n+1-c_n=，根據(jù)（1）的結(jié)論易得其值為一定值，即數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列；  
（3）由（2）中定義，我們易寫出S_n=a₁+a₂+…+a_n的表達(dá)式，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡后，即可得到答案．
解答：解：（1）由題意，S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，兩式相減，得S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n）
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=2b_n（n∈N^*），
q==2，
又由題設(shè)，得1+a₂=4+2=6，即a₂=5
b₁=a₂-2a₁=3，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為b_n=3•2^n-1．
（2）由題設(shè)，可得c_n+1-c_n=====
數(shù)列{c_n}是公差為的等差數(shù)列．
又 c₁==
∴c_n=
（3）∵c_n=，∴a_n=，
a_n-1=∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=4×=（3n-4）2^n-1+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差關(guān)系的確定，等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和，要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)之間的差（比）是否為定值．