Question

1．已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足下列關(guān)系：a₁=2a，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$），b_n=$\frac{{a}_{n}+a}{{a}_{n}-a}$（n∈N^*），其中a＞0．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式，并證明：$\frac{{a}_{n}-a}{{a}_{n+1}-a}$=${3}^{{2}^{n-1}}$+1；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，當n≥2時，與（n+$\frac{4}{3}$）a是否有確定的大小關(guān)系？若有，請加以證明；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①通過化簡可知b_n+1=${_{n}}^{2}$，通過對等式兩邊同時取對數(shù)可知log₃b_n+1=2log₃b_n，進而可知數(shù)列{log₃b_n}是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列，計算可知數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=${3}^{{2}^{n-1}}$；②通過①可知a_n=a+$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$，利用平方差公式化簡可知$\frac{{a}_{n}-a}{{a}_{n+1}-a}$=${3}^{{2}^{n-1}}$+1；
（2）通過二項式展開式放縮可知當n≥2時${3}^{{2}^{n-1}}$-1≥2^2n-1，從而$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}}$≤$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，利用等比數(shù)列的求和公式計算、放縮即得結(jié)論．

解答 （1）①解：依題意，b₁=$\frac{{a}_{1}+a}{{a}_{1}-a}$=$\frac{2a+a}{2a-a}$=3，
∵b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}+a}{{a}_{n+1}-a}$
=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}）+a}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}）-a}$
=$（\frac{{a}_{n}+a}{{a}_{n}-a}）^{2}$
=${_{n}}^{2}$，
∴l(xiāng)og₃b_n+1=2log₃b_n，
又∵log₃b₁=log₃3=1，
∴數(shù)列{log₃b_n}是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)og₃b_n=2^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=${3}^{{2}^{n-1}}$；
②證明：由①可知b_n=$\frac{{a}_{n}+a}{{a}_{n}-a}$=${3}^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=a+$\frac{2a}{_{n}-1}$=a+$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$，
∴a_n-a=$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$，a_n+1-a=$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}-a}{{a}_{n+1}-a}$=$\frac{{3}^{{2}^{n}}-1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$=$\frac{{3}^{2•{2}^{n-1}}-1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$=$\frac{（{3}^{{2}^{n-1}}+1）（{3}^{{2}^{n-1}}-1）}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$=${3}^{{2}^{n-1}}$+1；
（2）結(jié)論：當n≥2時S_n＜（n+$\frac{4}{3}$）a．
理由如下：
由②可知a_n=a+$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$，
∵當n≥2時，${3}^{{2}^{n-1}}$-1=$（1+2）^{{2}^{n-1}}$-1
≥（1+2^n-1•2+${C}_{{2}^{n-1}}^{2}$•2²）-1
=2ⁿ+$\frac{{2}^{n-1}（{2}^{n-1}-1）}{2}$•2²
=2ⁿ+2^2n-1-2ⁿ
=2^2n-1，
∴$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}}$≤$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，
∴S_n=a+$\frac{2a}{3-1}$+a+$\frac{2a}{{3}^{2}-1}$+…+a+$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$
=na+2a（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$）
≤na+2a（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$）
=na+2a•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=na+$\frac{4}{3}$a（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
＜na+$\frac{4}{3}$a
=（n+$\frac{4}{3}$）a，
即當n≥2時S_n＜（n+$\frac{4}{3}$）a．

點評 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及利用放縮法比較大小，注意解題方法的積累，屬于難題．