Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=3^n-1a_n-1（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Sn=log3(

an

273n

)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由遞推關(guān)系的形式，利用迭乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）將（1）求出的通項(xiàng)代入S_n，利用通項(xiàng)與和的關(guān)系bn=

S1(n=1) Sn- Sn-1

(n≥2)求出通項(xiàng)．
（3）從數(shù)列的項(xiàng)什么時(shí)候?yàn)檎�，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)，對(duì)n分段討論，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出和．

解答：解：（1）由已知得，當(dāng)n≥2時(shí)，

an

an-1

=3n-1．
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1
=3n-1•3n-2•…•32•31•1=3(n-1)+(n-2)+…+1=3

n(n-1)

2

．
（2）Sn=log3(

an

273n

)
=log3

3 n(n-1) 2

273n

=

n(n-1)

2

-9n=

n2-19n

2

．
b₁=S₁=-9；
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=f（n）-f（n-1）=n-10，
上式中，當(dāng)n=1時(shí)，n-10=-9=b₁，
∴b_n=n-10．
（3）數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為-9，公差為1的等差數(shù)列，且當(dāng)n≤10時(shí)，b_n≤0，故n≤10時(shí)，T_n=|S_n|=

19n-n2

2

．
當(dāng)n＞10時(shí)，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|
=-b₁-b₂-…-b₁₀+b₁₁+…+b_n
=|b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n|+2|b₁+b₂+…+b₁₀|
=

n2-19n+180

2

．
∴T_n=

19n-n2 2 ，(n≤10，n∈N*) n2-19n+180 2 ，(n＞10，n∈N*).

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，關(guān)鍵是判斷出數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后選擇合適的求和方法；求數(shù)列的通項(xiàng)，先判斷出遞推關(guān)系的特點(diǎn)，然后選擇合適的求通項(xiàng)方法．