Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，圓 O：x²+y²=b²將橢圓C的長軸三等分，直線l：y=mx-

4

5

（m≠0）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，PA、PB與圓O交于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證△APB為直角三角形；
（Ⅲ）設(shè)直線MN的斜率為n，求證：

m

n

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，解得b=1，由圓O將橢圓的長軸三等分，得a=3b=3，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由

y=mx- 4 5 x2 9 +y2=1

，得（1+9m²）x²-

72

5

mx-

81

25

=0，由此推導(dǎo)出

PA

•

PB

=0，從而能證明△PAB為直角三角形．
（Ⅲ）設(shè)直線PA的斜率為k，k＞0，則PA：y=kx+1，由

y=kx+1 x2 9 +y2=1

，得A(

-18k

1+9k2

，

1-9k2

1+9k2

)，又直線l過點(diǎn)（0，-

4

5

），則m=

k2-1

10k

，由

y=kx+1 x2+y2=1

，得M（

-2k

1+k2

，

1-k2

1+k2

），MN過原點(diǎn)，n=kOM=

k2-1

2k

，由此能證明

m

n

為定值

1

5

．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，∴2b=2，解得b=1，
∵圓O將橢圓的長軸三等分，∴2b=

1

3

×2a，
∴a=3b=3，
∴橢圓C的方程為

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）證明：由

y=mx- 4 5 x2 9 +y2=1

，消去y得（1+9m²）x²-

72

5

mx-

81

25

=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

72m

5(1+9m2)

，x1x2=

-81

25(1+9m2)

，
又P（0，1），∴

PA

•

PB

=(x1，y1-1)•(x2，y2-1)
=x1x2+(mx1-

9

5

)(mx2-

9

5

)
=x1x2+m2x1x2-

5

9

m(x1+x2)+

81

25

=（1+m²）•

-81

25(1+9m2)

-

9

5

m•

72m

5(1+9m2)

+

81

25

=

-18-81m2-648m2+81+81×9m2

25(1+9m2)

=0
∴PA⊥PB，∴△PAB為直角三角形．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知PA⊥PB，由題意知PA，PB的斜率存在且不為0，
設(shè)直線PA的斜率為k，k＞0，則PA：y=kx+1，
由

y=kx+1 x2 9 +y2=1

，得

x= -18k 1+9k12 y= 1-9k2 1+9k2

或

x=0 y=1

，
∴A(

-18k

1+9k2

，

1-9k2

1+9k2

)，
又直線l過點(diǎn)（0，-

4

5

），
則m=

1-9k2 1+9k2 + 4 5

-18k 1+9k2

=

k2-1

10k

，
由

y=kx+1 x2+y2=1

，得

x= -2k 1+k2 y= 1-k2 1+k2

，或

x=0 y=1

，
∴M（

-2k

1+k2

，

1-k2

1+k2

），
又∵PM⊥PN，∴MN為⊙O的直徑，∴MN過原點(diǎn)，∴n=kOM=

k2-1

2k

，
又∵m≠0，∴k²-1≠0，∴n≠0，
∴

m

n

=

k2-1 10k

k2-1 2k

=

1

5

，
∴

m

n

為定值

1

5

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形為直角三角形的證明，考查兩數(shù)比值為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．