Question

8．設(shè)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上是非負連續(xù)函數(shù)．
試證：存在x₀∈（0，1），使得在區(qū)間[0，x₀]上以f（x₀）為高的矩形面積等于在區(qū)間[x₀，1]上以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，則只需證明存在x∈（0，1）使得F（x）=0，用連續(xù)函數(shù)的介值定理求證即可．

解答 解：令函數(shù)f（x）=${∫}_{x}^{1}$f（t）dt-xf（x），則只需證明存在x∈（0，1）使得F（x）=0．
因為函數(shù)y=f（x）是區(qū)間[0，1]上的任一連續(xù)函數(shù)，所以，函數(shù)F（x）也是連續(xù)函數(shù)．
F（0）=${∫}_{0}^{1}$f（t）dt-0=${∫}_{0}^{1}$f（t）dt，F(xiàn)（1）=${∫}_{1}^{1}$f（t）dt-f（1）=-f（1）；
因為y=f（x）是區(qū)間[0，1]上非負，所以有：F（0）≥0，F(xiàn)（1）≤0
因為F（x）連續(xù)，所以在區(qū)間（0，1）上必存在x₀∈（0，1），使得F（x₀）=0．
即存在x₀∈（0，1），使得在區(qū)間[0，x₀]上以f（x₀）為高的矩形面積，
等于在區(qū)間[x₀，1]上以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積．

點評 本題考查連續(xù)函數(shù)介值定理及函數(shù)的單調(diào)性判斷．需要注意：對于介值定理，題目一般不直接給出函數(shù)，需要自己根據(jù)需要構(gòu)造出一個連續(xù)函數(shù)．