Question

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“折線距離”：d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．則下列命題正確的是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）
①若A（-1，3），B（1，0），則d（A，B）=5；
②若點(diǎn)C在線段AB上，則d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；
③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；
④若A為定點(diǎn)，B為動(dòng)點(diǎn)，且滿足d（A，B）=1，則B點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；
⑤若A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B在直線2x+y-2

5

=0上，則d（A，B）最小值為

5

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義

分析：利用“折線距離”：d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|，對(duì)①②③④⑤逐個(gè)判斷即可．

解答： 解：①∵A（-1，3），B（1，0），則d（A，B）=|1-（-1）|+|0-3|=2+5=5，故①正確；
②設(shè)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵點(diǎn)C在線段AB上，
∴x₀在x₁、x₂之間，y₀在y₁、y₂之間，不妨令x₁＜x₀＜x₂，y₁＜y₀＜y₂，
則d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|
=x₀-x₁+y₀-y₁+x₂-x₀+y₂-y₀
=x₂-x₁+y₂-y₁
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=d（A，B）成立，故②正確；
③在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|，
故③不一定成立；
∴命題①成立，
④不妨令點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B（x，y），則d（A，B）=|x|+|y|=1，B點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形，而不是圓，故④錯(cuò)誤；
⑤如圖，直線與兩軸的交點(diǎn)分別為M（0，2

5

），N（

5

，0），設(shè)B（x，y），為直線上任意一點(diǎn)，作BQ⊥x軸于Q，

則|BQ|=2|QN|，
∴d（A，B）=|AQ|+|QB|≥|AQ|+|QN|≥|AN|，即當(dāng)B與N重合時(shí)，d_min=|AN|=

5

，故⑤正確；
綜上所述，正確的是①②⑤．
故答案為：①②⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查創(chuàng)新思維與邏輯思維，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于難題．