設(shè)a是正數(shù),ax+y=2(x≥0,y≥0),記y+3x-x2的最大值是M(a)。試求:
(1)M(a)的表達(dá)式;
(2)M(a)的最小值。
由ax十y=2解出y后代入y+3x-x2中,消去y,將代數(shù)式y+3x-x2表示為只含一個(gè)字母x的二次函數(shù),逐步分類求M(a)。 (1)設(shè)S(x)=y+3x-x2,將y=2-ax代入消去y,得S(x)=2-ax+3x-x2=-x2+(3-a)x+2=- [x-(3-a)]2+(3-a)2+2(x≥0), ∵y≥0,∴2-ax≥0 而a>0,∴0≤x≤, 下面分三種情況求M(a): ①當(dāng)0<3-a<(a>0),即 時(shí)解得0<a<1或2<a<3。這時(shí) M(a)=S(3-a)=(3-a)2+2。 ②當(dāng)3-a≥(a>0),即 時(shí),解得1≤a≤2,這時(shí)M(a),=S=。 ③當(dāng)3-a≤0,即a≥3時(shí),M(a)=S(0)。 綜合以上,得
(2)下面分情況探討M(a)的最小值。 當(dāng)0<a<1或2<a<3時(shí),M(a)=(3-a)2+2>2。 當(dāng)1≤a≤2時(shí),M(a)=。 ∵1≤a≤2, ∴當(dāng)時(shí),M(a)取最小值,即M(a)≥M(2)=,當(dāng)a≥3時(shí),M(a)=2。 經(jīng)比較上述各類中M(a)的最小者,可得M(a)的最小值是2。 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044
(1)M(a)的表達(dá)式;
(2)M(a)的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
選修4—5:不等式選講
(Ⅰ) 設(shè)均為正數(shù),且,求證 .
(Ⅱ) 已知a,b都是正數(shù),x,y∈R,且a+b=1,求證:ax2+by2≥(ax+by)2。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案:2.1 函數(shù)及其表示(解析版) 題型:解答題
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