Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．

(1)求a，b的值；

(2)若對任意的t∈R，不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)<0恒成立，求k的取值范圍.

Answer 1

 (1)∵f(x)是奇函數(shù)，

∴f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，從而有f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知

解得a＝2.經(jīng)檢驗a＝2適合題意，

∴所求a，b的值分別為2,1.

(2)解法1：由(1)知f(x)＝

由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．

又因f(x)是奇函數(shù)，

從而不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)<0，等價于

f(t²－2t)<－f(2t²－k)＝f(－2t²＋k)．

因f(x)是減函數(shù)，由上式推得t²－2t>－2t²＋k.

即對一切t∈R有3t²－2t－k>0.

從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.

解法2：由(1)知f(x)＝，又由題設條件得

即(22t²－k＋1＋2)(－2t²－2t＋1)＋(2t²－2t＋1＋2)·(－22t²－k＋1)<0.

整理得23t²－2t－k>1，因底數(shù)2>1，故3t²－2t－k>0.

上式對一切t∈R均成立，從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.