Question

某民營企業(yè)從事M國某品牌運動鞋的加工業(yè)務(wù)，按照國際慣例以美元結(jié)算．依據(jù)以往的加工生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，若加工訂單的金額為x萬美元，可獲得的加工費的近似值為

1

2

ln(2x+1)萬美元．2011年以來，受美聯(lián)儲貨幣政策的影響，美元持續(xù)貶值．由于從生產(chǎn)訂單簽約到成品交付要經(jīng)歷一段時間，收益將因美元貶值而損失mx美元（其中m是該時段的美元貶值指數(shù)，且0＜m＜1），從而實際所得的加工費為f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx萬美元．
（1）若某時段的美元貶值指數(shù)m=

1

200

，為了確保企業(yè)實際所得加工費隨x的增加而增加，該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)？
（2）若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬美元時共需要的生產(chǎn)成本為

1

20

x萬美元．已知該企業(yè)的生產(chǎn)能力為x∈[10，20]，試問美元貶值指數(shù)m在何范圍內(nèi)時，該企業(yè)加工生產(chǎn)不會出現(xiàn)虧損？（已知(ln(2x+1))′=

2

2x+1

）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)知m=

1

200

，f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx，可得函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，則當(dāng)x∈[10，20]時，都有

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x，即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，求出左邊對應(yīng)函數(shù)的最小值，即可確定貶值指數(shù)m的范圍．

解答：解：（1）由已知m=

1

200

，f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx，∴f(x)=

1

2

ln(2x+1)-

x

200

(x＞0)
∴f′(x)=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

由f'（x）＞0⇒199-2x＞0，解得0＜x＜99.5
即加工產(chǎn)品訂單金額x∈（0，99.5）（單位：萬美元），該企業(yè)的加工費隨x的增加而增加．
（2）依題意，設(shè)企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，則當(dāng)x∈[10，20]時，都有

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x，
即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，
設(shè)g（x）=10ln（2x+1）-（20m+1）x，則g′(x)=

-(20m+1)x-20m+19

2x+1

令g（x）=0，則x=

19-20m

40m+2

∵x=

19-20m

40m+2

=

1

2

+

18

40m+2

＜10
∴g（x）在[10，20]上是減函數(shù)
所以，g（x）_min=g（20）=10ln41-20（20m+1）≥0，∴m≤

ln41-2

40

，又m＞0，
所以，m∈（0，

ln41-2

40

]時，該企業(yè)加工生產(chǎn)不會虧損．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，轉(zhuǎn)化為不等式，再借助于函數(shù)的最值進(jìn)行研究．