【題目】某城市有一直角梯形綠地,其中
,
km,
km.現(xiàn)過邊界
上的點
處鋪設(shè)一條直的灌溉水管
,將綠地分成面積相等的兩部分.
(1)如圖①,若為
的中點,
在邊界
上,求灌溉水管
的長度;
(2)如圖②,若在邊界
上,求灌溉水管
的最短長度.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題分析:(1)由面積相等建立等量關(guān)系:先確定直角梯形高,求得直角梯形
面積
,再表示四邊形
的面積:分割成一個小直角梯形
及一個直角三角形
,其中
為
中點,根據(jù)四邊形
的面積為直角梯形
面積一半,可解得
,進而求得
(2)易得
,進而可得
,其中
,
,根據(jù)
的面積為直角梯形
面積一半,可解得
,再由余弦定理可得
,利用基本不等式求最值
試題解析:(1)因為,
,
,
所以,……………………………………2分
取中點
,
則四邊形的面積為
,
即,
解得,…………………………………………6分
所以(km).
故灌溉水管的長度為
km.……………………8分
(2)
設(shè),
,在
中,
,
所以在中,
,
所以,
所以的面積為
,
又,所以
,即
.……………………12分
在中,由余弦定理,得
,
當且僅當時,取“
”.
故灌溉水管的最短長度為
km.……………………………………16分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓內(nèi)有一點
為過點
且傾斜角為
的弦.
(1)當時,求弦
的長;
(2)當弦被
平分時,圓
經(jīng)過點
且與直線
相切于點
,求圓
的標準方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2009年推出一種新型家用轎車,購買時費用為萬元,每年應(yīng)交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共
萬元,汽車的維修費為:第一年無維修費用,第二年為
萬元,從第三年起,每年的維修費均比上一年增加
萬元.(1)設(shè)該輛轎車使用
年的總費用(包括購買費用、保險費、養(yǎng)路費、汽油費及維修費)為
,求
的表達式;(2)這種汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年,年平均費用最少)?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱(側(cè)棱垂直于底面,且底面是正三角形)中,
是棱
上一點.
(1)若分別是
的中點,求證:
平面
;
(2)若是
上靠近點
的一個三等分點,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為
,右頂點為
,上頂點為
,已知
.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點,以線段
為直徑的圓經(jīng)過點
,經(jīng)過原點
的直線
與該圓相切,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項和為
,
,
是6與
的等差中項
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù),使不等式
恒成立,若存在,求出
的最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
.
(1)當,
時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若
對任意
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)的圖象在兩點
,
處的切線分別為
,
,若
,
,且
,求實數(shù)
的最小值.
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