Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（0）=-1，對任意x∈R都有f（x）≥x-1，且f(-

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+x)=f(-

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2

-x)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)g(x)=log

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2

[f(a)]x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（0）=-1可求出c的值，根據(jù)f(-

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2

+x)=f(-

1

2

-x)可得a與b的關(guān)系，最后根據(jù)對任意x∈R都有f（x）≥x-1，可求出a與b的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令u（x）=f（a），要使函數(shù)g(x)=log

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2

[f(a)]x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，只需函數(shù)u（x）=f（a）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=ax²+bx+c（a≠0）及f（0）=-1∴c=-1 …（1分）
又對任意x∈R，有f(-

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+x)=f(-

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-x)．
∴f（x）圖象的對稱軸為直線x=-

1

2

，則-

b

2a

=-

1

2

，∴a=b  …（3分）
又對任意x∈R都有f（x）≥x-1，
即ax²+（b-1）x≥0對任意x∈R成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2≤0

，故a=b=1                             …（6分）
∴f（x）=x²+x-1                                         …（7分）
（2）由（1）知g(x)=log

1

2

[f(a)]x=log

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（a²+a-1）^x，其定義域為R…（8分）
令u（x）=（a²+a-1）^x
要使函數(shù)g（x）=log

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（a²+a-1）^x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
只需函數(shù)u（x）=（a²+a-1）^x在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，…（10分）
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有a²+a-1＞1，解得a＜-2或a＞1      …（12分）
故存在實數(shù)a，當a＜-2或a＞1時，函數(shù)g(x)=log

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2

[f(a)]x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)…（13分）

點評：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定，同時考查了計算能力，屬于中檔題．