Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）滿足f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0對(duì)于任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)K的取值范圍；
（3）證明xf（x）≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）為奇函數(shù)．f（0）=0，得到a的取值，
（1）首先，求導(dǎo)數(shù)，然后，判斷導(dǎo)數(shù)值的情況，從而確定單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，然后，結(jié)合奇偶性，轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題，然后求解；
（3）構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），然后，結(jié)合函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴a=1．
∴f（x）=1-

2

2x+1

，
（1）∵f'（x）=

2×2xln2

(2x+1)2

＞0，
∴函數(shù)在R上為增函數(shù)；
（2）∵f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0，
∴f（2^x+1+4^x）＞-f（k-2）=f（2-k），
∴2^x+1+4^x＞2-k，∴k＞2-（2^x+1+4^x），
∵f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0對(duì)于任意x∈R恒成立，
∴只需k＞[2-（2^x+1+4^x）]_max，
設(shè)函數(shù)g（x）=2-（2^x+1+4^x）=-（2^x）²-2×2^x+2，
令2^x=t，（t＞0），
∴g（t）=-t²-2t+2=-（t+1）²+3，
∴g（t）＜3，∴k＞3，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍（3，+∞）；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=xf（x）
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴h（-x）=-xf（-x）=xf（x）=h（x），
∴函數(shù)h（x）=xf（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，h（0）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，
∵2^x+1＞2，
∴0＜

2

2x+1

＜1，
∴1-

2

2x+1

＞0，
∴xf（x）＞0，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，xf（x）≥0，
由函數(shù)圖象的對(duì)稱性，知函數(shù)xf（x）≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題，難度中等，注意函數(shù)為奇函數(shù)的重要性質(zhì)．