Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，D是AC中點，且AB₁⊥BC₁
（Ⅰ）求側棱AA₁的長；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取A₁B₁中點E，連接BC₁，EC₁，可得△ABB₁∽△BB₁E，從而可求側棱AA₁的長；
（Ⅱ）過D做DO⊥BC，垂足為O，過O做OG⊥BC₁，垂足為G，連接DG，則DG⊥BC₁，故∠OGD為二面角D-BC₁-C的平面角，計算OD，OG，即可求得結論．
解答：（Ⅰ）證明：取A₁B₁中點E，連接BC₁，EC₁，
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴AB₁⊥EC₁
∵AB₁⊥BC₁，BC₁∩EC₁=C₁，
∴AB₁⊥平面BEC₁，∴AB₁⊥BE
∴△ABB₁∽△BB₁E
∴
∵AB=2，∴
∴    …（6分）
（Ⅱ）解：過D做DO⊥BC，垂足為O，過O做OG⊥BC₁，垂足為G，連接DG，則DG⊥BC₁，
∴∠OGD為二面角D-BC₁-C的平面角
在△CBC₁中，由等面積可得OG==
∵OD==
∴∠OGD=45°
∴二面角D-BC₁-C的余弦值為．…（12分）
點評：本題考查面面角，考查側棱長的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．