Question

(本小題滿分14分)
在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且(a+b+c)(b+c-a)=3bc．
(1)求角A的度數(shù)；
(2)若2b=3c，求tanC的值．

Answer 1

(1)A= (2)tanC=．      
(注：第(2)問也可以通過所給的邊2b=3c的關(guān)系，代入已知條件，用一條邊表示另外兩條邊，再用余弦定理計算出cosC的值，再計算出sinC的值，從而得到tanC的值．可以仿照此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行給分．)

本試題主要是考查了運用正弦定理和余弦定理來求解三角形的綜合運用。
（1）首先將給定的關(guān)系式(a+b+c)(b+c-a)=3bc，利用余弦定理變形，得到關(guān)于A角的余弦公式，從而得到結(jié)論。
（2）可以通過所給的邊2b=3c的關(guān)系，代入已知條件，用一條邊表示另外兩條邊，再用余弦定理計算出cosC的值，從而得到結(jié)論。
解: (1)由(a+b+c)(b+c-a)=3bc得(b+c)²-a²=bc，所以cosA==，
又Ax∈(0，p)，所以A=．                          ············ 6分
(2)由正弦定理得，2b=3c⇒2sinB=3sinC                ············ 8分
⇒2sin(A+C)=3sinC⇒2sin(+C)=3sinC
⇒cosC+ sinC =3sinC                              ··········· 11分
⇒cosC=2sinC⇒tanC=．                        ··········· 14分
(注：第(2)問也可以通過所給的邊2b=3c的關(guān)系，代入已知條件，用一條邊表示另外兩條邊，再用余弦定理計算出cosC的值，再計算出sinC的值，從而得到tanC的值．可以仿照此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行給分．)