Question

如圖所示，多面體ABC-A₁B₁C₁是由直棱柱被平面A₁B₁C₁而成．其中AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，AB與BC垂直，AB=BC=1
（1）在A₁B₁上是否存在一點(diǎn)D₁，使得C₁D₁平行于平面ABC．
（2）求二面角B₁-A₁C₁-A的大�。�
（3）求該多面體的體積．

Answer 1

分析：（1）A₁B₁上存在一點(diǎn)D₁，滿足D₁為A₁B₁的中點(diǎn)，使得C₁D₁平行于平面ABC．根據(jù)線面平行的判定可以證明．
（2）過B₁點(diǎn)作AA₁，CC₁的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接EF，取EF的中點(diǎn)O，則△OC₁A₁為△C₁A₁，B₁的射影，分別求出面積，利用公式可求；
（3）多面體的體積為VABC-A1B1C1+VB1-EFC1A1，分別計(jì)算，即可求得．

解答：解：（1）A₁B₁上存在一點(diǎn)D₁，滿足D₁為A₁B₁的中點(diǎn)，使得C₁D₁平行于平面ABC．
D₁為A₁B₁的中點(diǎn)，取AB 的中點(diǎn)D，連接DD₁，C₁D₁，
∵多面體ABC-A₁B₁C₁是由直棱柱被平面A₁B₁C₁而成
∴AA₁∥BB₁∥CC₁，
∵AA₁=4，BB₁=2，D₁為A₁B₁的中點(diǎn)，取AB 的中點(diǎn)D，
∴DD₁∥CC₁，且DD₁=CC₁=3
∴四邊形CDD₁C₁為平行四邊形
∴D₁C₁∥DC
∵D₁C₁?平面ABC，DC?平面ABC
∴C₁D₁∥平面ABC．
（2）過B₁點(diǎn)作AA₁，CC₁的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接EF，取EF的中點(diǎn)O，則B₁O⊥平面C₁A₁B₁，
∵AB與BC垂直，AB=BC=1
∴EB₁=FB₁=1，EF=

2

∵OB₁=

2

2

，
∵AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
∴C₁F=1
∴A₁B₁=

5

，B₁C₁=

2

，A₁C₁=

3

∴△A₁B₁C₁為直角三角形，
∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∵B₁O⊥平面C₁A₁B₁，
∴OC₁⊥平面C₁A₁B₁，
∴∠OC₁B₁為二面角B₁-A₁C₁-A的平面角
∵sin∠OC₁B₁=

OB1

B1C1

=

2 2

2

=

1

2

∴∠OC₁B₁=30°
∴二面角B₁-A₁C₁-A的大小為30°
（3）四邊形EFC₁A₁的面積為

1+2

2

×

2

=

3

2

2

，B₁O=

2

2

多面體的體積為VABC-A1B1C1+VB1-EFC1A1=

1

2

×1×1×2+

1

3

×

3

2

2

×

2

2

=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查線面平行，面面角，考查多面體的體積，解題的關(guān)鍵是用好線面平行的判定，確定射影面積，及分割法求多面體的體積，綜合性強(qiáng)，難度大．