已知橢圓C1(a>b>0)的離心率為,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心,橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.
(I)求橢圓C1的方程;
(II)直線l1過橢圓C1的左焦點(diǎn)F1,且與x軸垂直,動(dòng)直線l2垂直于直線l2,垂足為點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(III)設(shè)C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)R、S滿足,求的取值范圍(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
【答案】分析:(I)由離心率為,可得2a2=3b2,利用直線l:y=x+2與圓x2+y2=b2相切,可求b的值,從而可得橢圓方程;
(II)由|MP|=|NF2|得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以直線x=-1為準(zhǔn)線,以F2為焦點(diǎn)的拋物線,從而可得軌跡C2的方程;
(III)設(shè)出R,S的坐標(biāo),利用,可得縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,利用基本不等式確定S縱坐標(biāo)的范圍,進(jìn)而可求||的取值范圍.
解答:解:(I)由離心率為,得,∴2a2=3b2,
∵直線l:y=x+2與圓x2+y2=b2相切,

∴b=
∴a=,
∴橢圓方程為            …(3分)
(II)由|MP|=|NF2|得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以直線x=-1為準(zhǔn)線,以F2為焦點(diǎn)的拋物線.
∴軌跡C2的方程是y2=4x                         …(6分)
(III)設(shè)R(,y1),S(,y2),則=(,y1),=(,y2),
=(,y2-y1),
,∴+y1(y2-y1)=0,
∵y2≠y1,∴y2=-(y1+),
=(y1+2=++32≥64,當(dāng)且僅當(dāng)=,即y1=±4等號成立,…(9分)
∵||=,
∴當(dāng),即y2=±8時(shí),||取得最小值8,
∴||的取值范圍是[8,+∞)                       …(12分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查拋物線方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查基本不等式,定型定量是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省肇慶四中高三(上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省廈門二中高二(上)期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷7(文科)(解析版) 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年海南省樂東縣民族中學(xué)高三(上)第三次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江西省贛州三中、于都中學(xué)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C1(a>b>0)的右頂點(diǎn)A(1,0),過C1的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M,N.若存在點(diǎn)P,使得線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求h的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A、B,P是雙曲線C2=1右支x軸上方的一點(diǎn),連接AP交橢圓于點(diǎn)C,連接PB并延長交橢圓于點(diǎn)D.
(1)若a=2b,求橢圓C1及雙曲線C2的離心率;
(2)若△ACD和△PCD的面積相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo)(用a,b表示).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案