Question

12．已知函數(shù)$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱，且f（3）＜f（5）．求m的值．

Answer 1

分析 由冪函數(shù)$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱，且f（3）＜f（5）．可得冪函數(shù)$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的在（0，+∞）上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)，結(jié)合冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得m的值．

解答 解：∵冪函數(shù)$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱，且f（3）＜f（5）．
故冪函數(shù)$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的在（0，+∞）上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)，
即-2m²+m+3＞0，解得：m∈（-1，$\frac{3}{2}$），即m=0，或m=1，
∵m=0時，函數(shù)$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$=x³為奇函數(shù)不滿足條件，
m=1時，函數(shù)$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$=x²為偶函數(shù)滿足條件，
故m=1．

點評 本題考查的知識點是冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性與指數(shù)的關(guān)系，是解答的關(guān)鍵．