Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（a²+1）x+1（-3＜a＜-1）若m＜n，m+n=3+a則（　　）

A．f（m）＜f（n）

B．f（m）=f（n）

C．f（m）＞f（n）

D．f（m）與f（n）的大小不能確定

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知函數(shù)f（x）=ax²+（a²+1）x+1為開口向下的拋物線，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

a2+1

2a

，可根據(jù)-3＜a＜-1，確定其取值范圍，再結(jié)合條件m＜n，m+n=3+a，分析m、n哪個(gè)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，從而得到答案．

解答：解：∵-3＜a＜-1，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

a2+1

2a

=-

a

2

-

1

2a

=

1

2

（-a-

1

a

），
令t=-a，則1＜t＜3，x=

1

2

（t+

1

t

），
∵x′=

1

2

（1-

1

t2

）＜0，
∴x=

1

2

（t+

1

t

）在（1，3）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)x=-

a2+1

2a

在（-3，-1）上單調(diào)遞減，
∴x＞x（-1）=1，
x=-

a

2

-

1

2a

＜x（-3）=-

-3

2

-

1

2×(-3)

=

5

3

，即對(duì)稱軸x=-

a2+1

2a

∈（1，

5

3

），
又m＜n，m+n=3+a，

m+n

2

=

3+a

2

∈（0，1），
∴m比n離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，由-3＜a＜-1＜0得，函數(shù)f（x）=ax²+（a²+1）x+1為開口向下的拋物線，
故f（m）＜f（n）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于對(duì)稱軸x=-

a2+1

2a

范圍的確定與

m+n

2

=

3+a

2

∈（0，1）的理解與應(yīng)用，屬于難題．