Question

已知橢圓

x2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞o)的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率e=

2

2

，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點F₁的直線l與該橢圓相交于M、N兩點，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直線l的方程式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓離心率為

2

2

，右準(zhǔn)線方程為x=2，建立方程，利用b²=a²-c²，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），先判斷直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，消元表示出x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2），用坐標(biāo)表示出向量，利用|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵橢圓離心率為

2

2

，右準(zhǔn)線方程為x=2．
∴

c

a

= 

2

2

，

a2

c

=2
∴a=

2

，c=1
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
若直線l的斜率不存在時，則直線l的方程為x=-1，將x=-1代入橢圓方程可得y=±

2

2

不妨設(shè)M（-1，

2

2

），N（-1，-

2

2

），∴

F2M

+

F2N

= (-2，

2

2

)+(-2，-

2

2

)=(-4，0)
∴|

F2M

+

F2N

|=4，與題設(shè)矛盾，∴直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

∴

F2M

+

F2N

= (x1+x2-2，y1+y2)
∴|

F2M

+

F2N

|2=( x1+x2-2)2+(y1+y2)2=(

-4k2

1+2k2

-2)2+(

2k

1+2k2

)2=

4(16k4+9k2+1)

4k4+4k2+1

∵|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

∴

4(16k4+9k2+1)

4k4+4k2+1

=

104

9

∴40k⁴-23k²-17=0
∴k²=1（負(fù)值舍去）
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1．

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．