Question

求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：
（1）過(guò)點(diǎn)（-3，2）；
（2）焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y²=-2px或x²=2py，把點(diǎn)（-3，2）代入即可求得p，則拋物線方程可得，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得準(zhǔn)線方程．
（2）令x=0，y=0代入直線方程分別求得拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)而分別求得p，則拋物線的方程可得．根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得準(zhǔn)線方程．

解答：解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y²=-2px或x²=2py（p＞0），
∵過(guò)點(diǎn)（-3，2），
∴4=-2p（-3）或9=2p•2．
∴p=

2

3

或p=

9

4

．
∴所求的拋物線方程為y²=-

4

3

x或x²=

9

2

y，前者的準(zhǔn)線方程是x=

1

3

，后者的準(zhǔn)線方程是y=-

9

8

．
（2）令x=0得y=-2，令y=0得x=4，
∴拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，-2）．
當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，

p

2

=4，
∴p=8，此時(shí)拋物線方程y²=16x；
焦點(diǎn)為（0，-2）時(shí)，

p

2

=2，
∴p=4，此時(shí)拋物線方程為x²=-8y．
∴所求的拋物線的方程為y²=16x或x²=-8y，
對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=-4，y=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和確定開(kāi)口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論．