Question

已知棱長(zhǎng)為1的正方體AC₁，E，F(xiàn)分別是B₁ C₁和C₁D₁的中點(diǎn)
（1）求點(diǎn)A₁到平面BDFE的距離
（2）求直線A₁D與平面BDFE所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁的方向分別為X，Y，Z軸的正方向，建立坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面BDFE的法向量，代入向量點(diǎn)到平面的距離公式，即可得點(diǎn)A₁到平面BDFE的距離；
（2）由（1）知∠DA₁H=45°，從而得出∠A₁DH是直線A₁D與平面BDFE所成角，結(jié)合∠DA₁H+∠A₁DH=90°即可得出直線A₁D與平面BDFE所成的角∠A₁DH的大�。�
解答：解：（1）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則B（1，1，0），E（1/2，1，1），F(xiàn)（0，1/2，1），
設(shè)=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由⊥，⊥，=（1，1，0），=（0，1/2，1）得：•=x+y=0•=1/2y+z=0
所以：x=-yz=-y/2令y=1，得=（-1，1，1/2），
設(shè)點(diǎn)A在平面BDFE上的射影為H，
連接A₁D，A₁D是平面BDFE的斜線段，
則：cos＜，＞=，
所以|cos＜，＞=1所以點(diǎn)A₁到平面BEFE的距離為1；
（2）由（1）知∠DA₁H=45°，
∠A₁DH是直線A₁D與平面BDFE所成角，
且∠DA₁H+∠A₁DH=90°
所以∠A₁DH=45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，點(diǎn)、線、面的距離的計(jì)算，其中根據(jù)已知建立空間坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．