Question

19．求證：（1+$\frac{1}{3}$）²$•（1+\frac{1}{5}）$²…（1+$\frac{1}{2n+1}$）²＜n+1．

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意步驟，由n=k+1，運(yùn)用n=k的結(jié)論，借助作差比較法，即可得到．

解答 證明：（數(shù)學(xué)歸納法）．
當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=（1+$\frac{1}{3}$）²=$\frac{16}{9}$＜2=右邊，不等式成立；
假設(shè)n=k時(shí)，（1+$\frac{1}{3}$）²$•（1+\frac{1}{5}）$²…（1+$\frac{1}{2k+1}$）²＜k+1．
當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+$\frac{1}{3}$）²$•（1+\frac{1}{5}）$²…•（1+$\frac{1}{2k+1}$）²•（1+$\frac{1}{2k+3}$）²
＜（k+1）•（1+$\frac{1}{2k+3}$）²
由（k+1）•（1+$\frac{1}{2k+3}$）²-（k+2）=$\frac{-（k+2）}{（2k+3）^{2}}$＜0，
可得（k+1）•（1+$\frac{1}{2k+3}$）²＜k+2．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立．
綜上可得，（1+$\frac{1}{3}$）²$•（1+\frac{1}{5}）$²…（1+$\frac{1}{2n+1}$）²＜n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．