Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n²（n∈N^*）；b₁=3且bn+1=

1

4

bn+

3

4

（n∈N^*），
（1）寫出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式a_n和b_n；
（3）設(shè)cn=

an

bn-1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列的遞推公式直接求解．
（2）利用數(shù)列中a_n與Sn關(guān)系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，在bn+1=

1

4

bn+

3

4

兩邊同時(shí)減去1，構(gòu)造等比數(shù)列{b_n-1}，再去求{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3））cn=

an

bn-1

=

4n-2

2 4n-1

=（2n-1）4^n-1，利用錯(cuò)位相消法求和．

解答：22 解：（1）a₁=2，a₂=6，a₃=10，a₄=14…（4分）
（2）由題意s_n=2n²，當(dāng)n≥2時(shí)sn-1=2(n-1)2，
兩式相減得a_n=4n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也滿足，
∴a_n=4n-2（n∈N^*）；
由bn+1=

1

4

bn+

3

4

，知bn+1-1=

1

4

(bn-1)即

bn+1-1

bn-1

=

1

4

∴數(shù)列{b_n-1}是以首項(xiàng)為2，公比為

1

4

的等比數(shù)列，
∴b_n-1=

2

4n-1

，
∴b_n=

2

4n-1

+1（n∈N^*）．（9分）
（2）∵cn=

an

bn-1

=

4n-2

2 4n-1

=（2n-1）4^n-1，

∴Tn=c1+c2+…+cn=1+3×41+5×42+…+(2n-1)4n-1， 4Tn=1×4+3×42+5×43+…+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n

兩式相減得

3Tn=-1-2(41+42+43+…+4n-1)+(2n-1)4n= 1 3 [(6n-5)4n+5] ∴Tn= 1 9 [(6n-5)4n+5].

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解：利用了a_n與Sn關(guān)系以及構(gòu)造法．形如a_n+1=pa_n+q遞推數(shù)列，這種類型可轉(zhuǎn)化為a_n+1+m=4（a_n+m）構(gòu)造等比數(shù)列求解．還考查錯(cuò)位相消法求和．